Propojení geometrické intuice s algebraickou manipulací s polynomy
Zatímco klasické důkazy často pracují s rozkladem plochy c2 na trojúhelníky, tento přístup využívá identitu (a + b − c)2. To je plocha "přebytku", který vznikne, když přes sebe položíme čtverce nad odvěsnami uvnitř čtverce nad přeponou.
Algebra nám potvrzuje, že tento středový čtverec je přesně roven dvěma obdélníkům, které vyplňují zbývající prostor.
Algebraický důkaz identity z obrázku
Obrázek pracuje s velkým čtvercem o straně c. Celková plocha je tedy c2. Na obrázku je tato plocha rozdělena na několik částí:
- Žlutý čtverec: a2
- Zelený obdélník (vpravo dole): b2 (všimněte si, že je složen z menších částí)
- Modrý čtverec uprostřed: (a + b − c)2
- Dva modré obdélníky v rozích: 2 · (c − a)(c − b)
Aby platila Pythagorova věta (a2 + b2 = c2), musí být plocha onoho středového modrého čtverce rovna součtu ploch těch dvou rohových obdélníků.
Důkaz ekvivalence
Pojďme dokázat, že rovnost (a + b − c)2 = 2(c − a)(c − b) je ekvivalentní větě a2 + b2 = c2:
- Roznásobíme levou stranu (čtverec trojčlenu): (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc
- Roznásobíme pravou stranu (dva obdélníky): 2(c − a)(c − b) = 2(c2 − cb − ac + ab) 2(c − a)(c − b) = 2c2 − 2bc − 2ac + 2ab
- Položíme obě strany do rovnosti: a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc = 2c2 − 2bc − 2ac + 2ab
-
Zjednodušíme rovnici:
Všimněte si, že na obou stranách máme stejné členy, které můžeme odečíst:
- Odečteme 2ab z obou stran.
- Přičteme 2ac k oběma stranám.
- Přičteme 2bc k oběma stranám.
Zůstane nám:
a2 + b2 + c2 = 2c2 -
Finální krok:
Odečteme c2 od obou stran:
a2 + b2 = c2
Může existovat podobné překrytí pro obdélníky?
Moje otázka zní: „Může existovat překrytí dvou obdélníků, které jsou shodné, a součet dvou obdélníků je čtverec?“
Stručná odpověď je ano, ale s určitými geometrickými omezeními. Aby součet dvou shodných obdélníků vytvořil čtverec, musí tyto obdélníky dohromady vyplnit celou plochu čtverce bez mezer a překryvů (nebo s velmi specifickým symetrickým překryvem).
1. Jednoduché rozdělení (bez překryvu)
Nejjednodušší případ je čtverec o straně a, který rozdělíte na poloviny.
- Dostanete dva shodné obdélníky o stranách a a a/2.
- Jejich součet (plocha) je přesně roven ploše čtverce: 2 · (a · a/2) = a2.
2. Překrytí obdélníků „do kříže“
Pokud hledáte analogii k vašemu obrázku (kde se plochy překrývají), představte si dva shodné obdélníky o stranách x a y, které položíte přes sebe do kříže tak, aby výsledný obrys tvořil čtverec.
- Aby výsledný tvar byl čtverec, musí platit, že delší strana obdélníku se rovná straně čtverce.
- Plocha, kde se obdélníky překrývají, bude sama o sobě čtverec (pokud jsou vycentrovány).
Matematická podmínka: Pokud mají dva shodné obdélníky (každý o ploše S) po sečtení (sjednocení) vytvořit čtverec o ploše C, musí platit:
2S − Plocha překryvu = C
